什么是有限元分析?

2013-08-14 by:广州有限元分析、培训中心-1CAE.COM 来源:有限元培训中心

有限元法:把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件

有限元模型:它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。

有限元分析:是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别:

1)非线性问题的方程是非线性的,一般需要迭代求解;

2)非线性问题不能采用叠加原理;

3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类:

1)材料非线性问题

材料的应力和应变是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2)几何非线性问题

几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时,应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。

3)非线性边界问题

在加工、密封、撞击等问题中,接触和摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。

平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。

实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元法求解问题的基本步骤

1.结构离散化

对整个结构进行离散化,将其分割成若干个单元,单元间彼此通过节点相连;

2.求出各单元的刚度矩阵[K]^(e)

[K]^(e)是由单元节点位移量{Φ}^(e)求单元节点力向量{F}^(e)的转移矩阵,其关系式为:{F}^(e)= [K]^(e) {Φ}^(e)

3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程:

总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵,其关系式为{F}⁼ [K] {Φ},此即为总体平衡方程。

4.引入支撑条件,求出各节点的位移

节点的支撑条件有两种:一种是节点n沿某个方向的位移为零,另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。

5.求出各单元内的应力和应变。

对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为:

(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。

(5)总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加,形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件, 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

(7)解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。

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