快速傅氏变换(FFT)是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列,由DFT变换,任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法,而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法,一次复数加法等于两次实数加法,即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”(四次实数乘法和四次实数加法),那么求出N项复数序列的X(m),即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候,需要N2=1048576次运算,在FFT中,利用WN的周期性和对称性,把一个N项序列(设N=2k,k为正整数),分为两个N/2项的子序列,每个N/2点DFT变换需要(N/2)2次运算,再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后,总的运算次数就变成N+2(N/2)2=N+N2/2。继续上面的例子,N=1024时,总的运算次数就变成了525312次,节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去,直到分成两两一组的DFT运算单元,那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算,N在1024点时,运算量仅有10240次,是先前的直接算法的1%,点数越多,运算量的节约就越大,这就是FFT的优越性