用matlab实现高斯列主元消去法解线性方程及LU分解

function x=gaussLinearEquation(A,b)

%高斯法解线性方程Ax=b

disp('原方程为AX=b:')

A

b

disp('------------------------')

n=length(b);

eps=10^-2;

for k=1:n-1

%找列主元

[mainElement,index]=max(abs(A(k:n,k)));

index=index+k-1;%index在A(k:n,k)中的行号转换为在A中的行号

if abs(mainElement)<eps

disp('列元素太小!!');

break;

elseif index>k

%列主元所在行不是当前行,将当前行与列主元所在行交换

temp=A(k,:);

A(k,:)=A(index,:);

A(index,:)=temp;

end

%消元

for i=k+1:n

m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);%A(k,k)将A(i,k)消为0所乘系数

A(i,k:n)=A(i,k:n)-m(i,k)*A(k,k:n);%第i行消元处理

b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);%还有b也需要处理!!

end

end

disp('消元后所得到的上三角阵是')

A

%回代

b(n)=b(n)/A(n,n);

for i=n-1:-1:1

%sum(A(i,i+1:n).*b(i+1:n)')表示已知

b(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:n).*b(i+1:n)'))/A(i,i);

end

clear x;

x=b;

disp('AX=b的解x是')

x

用法:

在控制台输入:

A=[1.003 0.333 1.504 -0.333;

-2.011 1.455 0.506 2.956;

4.329 -1.952 0.006 2.087;

5.113 -4.004 3.332 -1.112];

b=[ 3.005,5.407,0.136,3.772 ]';

执行gaussLinearEquation(A,b);即可得到结果。

使用matlab实现矩阵的LU分解

function [L,U]=myLU(A)

%实现对矩阵A的LU分解,L为下三角矩阵

A

[n,n]=size(A);

L=zeros(n,n);

U=zeros(n,n);

for i=1:n

L(i,i)=1;

end

for k=1:n

for j=k:n

U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)');

end

for i=k+1:n

L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k);

end

end

用法,在控制台输入

A=[1 2 3 -4;-3 -4 -12 13;2 10 0 -3;4 14 9 -13];

然后执行[l,u]=myLU(A);

这样得到l和u,可以通过l*u与A比较来验证LU分解的正确性。

注意:

[L1,U1]=lu(x)

[L2,U2,P]=lu(x)

[L3,U3,P,Q] = lu(X)

MATLAB中[L1,U1]=lu(x)的结果:L是下三角的置换矩阵即L1=p*L2,U是上三角阵。Matlab中LU分解采用高斯消元法,结果是不唯一的,只要[L1,U1]=lu(x)满足L1*U1=x, [L2,U2,P]=lu(x)满足L2*U2=p*x,[L3,U3,P,Q] = lu(X)满足L3*U3= P*X*Q就行了。